Kumpulan Bahan Kuliah & Tugas Teknik Elektro: GEOMETRI PADA BIDANG VEKTOR

BAB 13

GEOMETRI PADA BIDANG VEKTOR

13.1 KURVA BIDANG

PENYAJIAN SECARA PARAMETER

Sebuah kurva dapat digambarkan dengan menggunakan dua parameter;

; dimana t dalam selang I

Untuk mengenali kembali sebuah kurva yang ditentukan oleh persamaan parameter, kita sebaiknya menghilangkan (mengeliminasi) parameter ini. Hal-hal ini kadang-kadang dapat dilakukan dengan mencari persamaan t dari salah satu persamaan parameter dan kemudian mensubstitusikannya ke dalam persamaan lain. Kadang-kadang kita juga menggunakan hubungan yang kita kenal.

Untuk menggambarkan grafiknya, kita hanya menperlihatkan bagian parabol yang sesuai dengan nilai parameter yang memenuhi t dalam selang ”I” seperti yang dinyatakan di awal.

Contoh 1

Hilangkan parameter t dari persamaan

Penyelesaian :

Dari persamaan kedua kita peroleh

Kemudian kita subtitusikan kepersamaan yang pertama, maka :

CONTOH 2

buktikan bahwa

X = a cos t, y = b sin t, 0

t ≤ 2π

Adalah persamaan elips yang ditunjukan dalam gambar

Penyelesaian kita cari cos t dan sin t, kemudian mengkuadratkan nya dan akhir nya kita jumlahkan

= cos² t sin² t = 1

= 1

SIKLOID sebuah sikloid adalah sebuah kurva yang dilalui oleh sebuah titik P pada tepi roda, apabila roda ini menggelinding tanpa tergelincir pada sebuah garis. Persamaan cartesius sikloid sangat rumit dan oleh karenanya jarang sekali di pakai kitamenggunakan parameter yang jauh lebih seder hana dan juga mudah diperoleh, seperti contoh berikut

CONTOH 5

Andaikan roda menggelinding pada sumbu x dengan P berada dititik asal. Nyatakan C pusat roda dan a radiusnya. Ambilah sebagai parameter besarnya t dengan satuan radian dari sudut antara garis CP dan kedudukan vertical semula yang diukur dengan arah yang sesuai dengan putaran jarum jam.

Oelh karena IONI = arc PN = at,

x = IOMI = IONI = IMNI = at – a sin t = a (t – sin t)

dan

y = IMPI = INRI = INCI + ICRI = a – a cos t = a(1 – cos t)

jadi persamaan sikloid adalah

x = a(t – sin t), y = a(1 – cos t)

Teorema A

Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang turunannya kontinu dan f’(t) ≠ 0 pada selang α≤ t ≤β maka persamaan para meter

X = f(t), y = g(t)

Mendifinisikan y sebagai fungsi x dan

CONTOH 6

Tentukan a. Turunan pertama

b. Turunan kedua

untuk fungsi yang ditentukan oleh :

X = 5 cos t y = 4 sin t, 0 < t > 3

Hitunglah turunan itu untuk t

Penyelesian :

a. misalkan

y’ , maka

dimana :

= 4 cos t

cot t

5 sin t

cot t

Jadi nilai

Sehingga untuk t

, maka :

cot

b. Langkah penyelesaian untuk turunan kedua dari y

1. Turunkan y terhadap x atau

2. Lalu baru diturunkan

dimana :

Sehingga untuk t

, diperoleh :

Contoh 7

Hitunglah :

Apabila x = 2t – 1 dan y =

+ 2.

Jawaban :

Berhubung x = 2t – 1 , kita peroleh dx = 2dt ; untuk x = 1, t = 1 ; dan untuk x = 3 kita peroleh t = 2. Sehingga :

= 2 [

+ 2t

= 2

= 2 [

+ 2

= 86

13.2 Vektor pada Bidang

Pendekatan Secara Geometri

Operasi Terhadap Vektor

Untuk memperoleh jumlah atau resultan dua vektor u dan v, dapat menggunakan cara yang disebut dengan hukum jajargenjang. Cara ini dilakukan dengan cara menarik v sehingga pangkalnya berimpitan dengan pangkal u.Dimana u + v adalah vektor yang sepangkal dengan u dan yang berimpit dengan diagonal jajargenjang sisinya adalah u dan v. Cara lain adalah dengan menghubungkan pangkal u dengan ujung v.

Sifat-sifat operasi vektor adalah asosiatif dan komutatif,yaitu:

sifat komulatif u + v = v + u
sifat asosiatif (u + v) + w = u + (v + w)

Contoh soal sub bab 13.2 Vektor pada bidang

Pendekatan secara Geometri

Contoh 4 :

Sebuah sungai lebarnya 0,62 mil. Laju air dalam sungai adalah 6 mil tiap jam. Perah Karen dapat melaju 20 mil tiap jam dala air yang tidak mengalir. Dengan arah manakah perahu harus ditujukan apabila Karen ingin sampai diseberang pada sebuah titik yang garishubungnya tegak lurus arah aliran. Berapa waktu diperlukan untuk menyeberang?

Penyelesaian :

1. Menentukan

Sin

20 6

= 17,46^o

2. Menentukan IwI ,ialah laju perahu searah dengan w

IwI = 20 cos

= 20 cos 17,46^o

= 19,08 mil tiap jam

3. Menentukan waktu yang diperlukan :

V = S / t

t = s / V

= 0,62 / 19.08

= 0,0325 jam

= 1,95 menit.

13.3 Vektor pada Bidang

Pendekatan Secara Aljabar

Vektor : merupakan keluarga anak panah yang panjangnya dan arahnya sama.

Gambar : Vektor u

Dikarenakan vektor u dalam bidang dua dimensi, maka komponen vektor u adalah { u_1,u₂>.

Operasi pada Vektor

a. Penjumlahan dua buah vektor

Apabila terdapat dua buah vektor u dan v, maka :

u + v = { u₁ + v₁, u₂ + v₂ }

b. Perkalian vektor dengan skalar

Apabila terdapat vektor u dan skalar c, maka :

uc = cu = { cu₁, cu₂ }

Teorema A

Untuk sebarang vektor u, v, dan w dan sebarang skalar a dan b, berlaku sifat – sifat berikut :

u + v = v + u
(u + v) + w = u + (v + w)
u + 0 = 0 + u = u
u + (-u) = 0
a(bu) = (ab)u = u(ab)
a(u + v) = au + av
(a + b)u = au + bu
l u = u

Bukti kita gambarkan pembuktian dengan membuktikan kaidah ke-6 sebagai berikut.

a(u + v) = a({u_1,u₂} + {v₁,v₂})

= a{u₁ + v₁,u₂ + v₂}

= {a(u₁ + v₁), a(u₂ + v₂) }

= {au₁ + av₁, au₂ + av₂}

= {au₁,au₂} + {av₁,av₂}

= a{u₁,u₂} + a{ v₁,v₂}

= au +av

Contoh 1

Andaikan u = {4,-3}. Tentukan IuI dan I-2uI tentukan pula vektor v yang searah dengan u tetapi dengan panjang 1.

Penyelesaian

IuI =

= 5 dan I-2I IuI = 2 • 5 = 10 untuk mencari v, kita bagi u dengan panjangnya IuI ; yakni

v =

{4,-3} ={

}

kita telah membahas perkalian dengan skalar, yaitu perkalian vektor u dengan skalar c. Hasilnya adalah vektor cu. Sekarang kita tentukan perkalian dua vektor u dan v. perkalian ini dinamakan hasil kali titik, yang dilambangkan dengan u •v. Kita tentukan perkalian ini sebagai

u • v = u₁v₁ + u₂v₂

Teorema B

Jika u, v, dan w vektor dan c skalar, maka berlaku sifat-sifat.

1. u • v = v • u

2. u • (v + w) = u • v + u • w

3. c(u • v) = (cu) • v = u• (cv)

4. 0 • u = 0

5. u • u

Untuk memahami arti hasil kali titik, kita berikan rumus lain. Jika u dan v adalah vektor tidak nol, maka

u • v = IuIIvI cos θ

Teorema C

(kriteria ketegaklurusan). Dua vektor u dan v tegaklurus (ortogonal) jika dan hanya jika u • v = 0

CONTOH 2

Tentukan b sehingga u = {8,6} dan v = {3,b} tegaklurus.

Penyelesaian

u • v = (8)(3) + (6)(b) = 24 + 6b = 0

jadi, b = -4

CONTOH 3

Tentukan sudut antara u = {8,6> dan v {5,12>}

Penyelesaian

Cos θ =

≈ 0,862

Jadi

θ = cos^-1(0,862) ≈ 0,532 (atau 30,5^o)

VEKTOR BASIS

Andaikan i = ‹1,0› dan j = ‹0,1›,vektor ini tegak lurus dan panjangnya sama dengan satu.Vektor ini dinamakan vektor basis karena karena hanya memiliki komponen i dan j,

u =‹ u₁,u₂ ›= u₁ ‹1,0 ›+u₂ ‹0,1› =u₁i+u₂j

CONTOH 4

Apabila u anak panah dari P(2,-1) ke Q(-3,7),tulisu sebagai u₁i + u₂j

u=(u₁,u₂)

Jawab:

penggeseran anak panah dari P ke Q =Q-P= -3-2,7-(-1) =( -5,8)

Sehingga u dapat dinyatakan sebagai u = -5i + 8j

A=(4,3)

CONTOH 5 Tentukan besarnya sudut ABC, dengan A = (4,3), B = (1,-1), dan C = (6,-4)

Penyelesaian

u = BA = (4 – 1)i + (3 + 1)j = 3i + 4j = {3,4}

v = BC = (6 – 1)i + (-4 + 1)j = 51 – 3j = {5, -3}

IuI =

= 5

IvI =

u • v = (3)(5) + (4)(-3) = 3

cos θ

≈ 0,1029

θ ≈ 1,468 (atau 84,09^o).

CONTOH 6

Sebuah gaya F = 80i +50j dengan satuan pon memindahkan benda dari (1,0) hingga (7,1) Jarak diukur dengan kaki. Berapakah besarnya kerja ?

Penyelesaian

Andaikan D vektor dari (1,0) ke (7,1) maka D = 6i+ j. Jadi

Kerja = F • D = (80)(6) = (50)(1) = 530 pon kaki.

13.4 FUNGSI BERNILAI VEKTOR

f F

t (ft) t F(t)

Penyajian perluasan dari gambar diatas dalam arti bahwa nilai fungsi dapat benilai vector. Suatu fungsi F bernilai vector dengan peubah riil t memadankan tiap bilangan riil t dengan vector F(t). Jadi

F(t) =f(t)i +g(t)j

Dari perumusan diatas, maka F memiliki limit di c jika dan hanya jika f dan g memiliki limit di c dalam hal ini maka berlakulah :

TEOREMA A

Dari teorema diatas maka terlihat bahwa F kontinu di c jika dan hanya jika f dan g kontinu di c. Berangkat dari hal tersebut, maka dapat diketahui nilai turunan dari F(t), yaitu