search

Memuat...

Sabtu, 04 September 2010

GEOMETRI PADA BIDANG VEKTOR

BAB 13
GEOMETRI PADA BIDANG VEKTOR

13.1 KURVA BIDANG
PENYAJIAN SECARA PARAMETER


Sebuah kurva dapat digambarkan dengan menggunakan dua parameter;
                      ; dimana t dalam selang I

Untuk mengenali kembali sebuah kurva yang ditentukan oleh persamaan parameter, kita sebaiknya menghilangkan (mengeliminasi) parameter ini. Hal-hal ini kadang-kadang dapat dilakukan dengan mencari persamaan t dari salah satu persamaan parameter dan kemudian mensubstitusikannya ke dalam persamaan lain. Kadang-kadang kita juga menggunakan hubungan yang kita kenal.

Untuk menggambarkan grafiknya, kita hanya menperlihatkan bagian parabol yang sesuai dengan nilai parameter yang memenuhi t dalam selang ”I” seperti yang dinyatakan di awal.

Contoh 1
Hilangkan parameter  t dari persamaan

                       

Penyelesaian :

Dari persamaan kedua kita peroleh

Kemudian kita subtitusikan kepersamaan yang pertama, maka :

                                    

                                    

                                    

                                    

                             

                             


CONTOH 2
buktikan bahwa
X = a cos t, y = b sin t, 0 t ≤ 2π

Adalah persamaan elips yang ditunjukan dalam gambar

Penyelesaian  kita cari  cos t dan sin t, kemudian mengkuadratkan nya dan akhir nya kita jumlahkan

 +  = cos2  t sin2 t = 1

 +  = 1


SIKLOID sebuah sikloid adalah  sebuah kurva yang dilalui oleh sebuah titik P pada tepi roda, apabila roda ini menggelinding tanpa tergelincir pada sebuah garis. Persamaan cartesius sikloid sangat rumit dan oleh karenanya jarang sekali di pakai  kitamenggunakan parameter yang jauh lebih seder hana dan juga mudah diperoleh, seperti contoh berikut


CONTOH 5
 Andaikan roda menggelinding pada sumbu x dengan P berada dititik asal. Nyatakan C pusat roda dan a radiusnya. Ambilah sebagai parameter besarnya t dengan satuan radian dari sudut antara garis CP dan kedudukan vertical  semula yang diukur dengan arah yang sesuai dengan putaran jarum jam.
 Oelh karena  IONI  = arc  PN = at,
x = IOMI = IONI = IMNI = at – a sin t = a (t – sin t)
dan
y = IMPI = INRI = INCI + ICRI = a – a cos t = a(1 – cos t)

jadi persamaan sikloid adalah

x = a(t – sin t), y = a(1 – cos t)


Teorema A
Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang turunannya kontinu dan f’(t) ≠ 0 pada selang α≤ t ≤β maka persamaan para meter

                   X = f(t), y = g(t)

Mendifinisikan y sebagai fungsi x dan
                    =

CONTOH 6
   Tentukan      a. Turunan pertama
                        b. Turunan kedua  ,
    untuk fungsi  yang ditentukan oleh :
                   X = 5 cos t                                    y =  4 sin t,                   0 < t > 3
Hitunglah  turunan itu untuk  t
Penyelesian :
a.         misalkan  y’ , maka
                                                                          dimana :  = 4 cos t
= cot t                                                                            = 5 sin t
    cot t
Jadi  nilai =
Sehingga untuk t , maka :
           
                  =   cot
                   =

b.        Langkah penyelesaian untuk turunan kedua dari y
1.      Turunkan y terhadap x atau 
2.      Lalu  baru diturunkan
             
                                                 dimana :
                                                                               
                   =
Sehingga untuk t  , diperoleh :
 =
                  
                    

Contoh  7

Hitunglah :
a)       

b)     
Apabila  x = 2t – 1  dan   y =  + 2.

Jawaban :
Berhubung  x = 2t – 1 , kita peroleh  dx = 2dt  ;  untuk  x = 1, t = 1 ; dan untuk x = 3  kita peroleh  t = 2. Sehingga :
  =   =  2 [ + 2t =

c)       =   = 2  =
= 2 [    + 2  4 = 86


13.2 Vektor pada Bidang
 Pendekatan Secara Geometri

Operasi Terhadap Vektor
            Untuk memperoleh jumlah atau resultan dua vektor u dan v, dapat menggunakan cara yang disebut dengan hukum jajargenjang. Cara ini dilakukan dengan cara menarik v sehingga pangkalnya berimpitan dengan pangkal u.Dimana u + v adalah vektor yang sepangkal dengan u dan yang berimpit dengan diagonal jajargenjang sisinya adalah u dan v. Cara lain adalah dengan menghubungkan pangkal u dengan ujung v.



            Sifat-sifat operasi vektor adalah asosiatif dan komutatif,yaitu:
  • sifat komulatif                                     u + v = v + u
  • sifat asosiatif                (u + v) + w = u + (v + w)


Contoh soal sub bab 13.2 Vektor pada bidang
 Pendekatan secara Geometri
                                  
Contoh 4 :
Sebuah sungai  lebarnya 0,62 mil. Laju air dalam sungai adalah 6 mil tiap jam. Perah Karen dapat melaju 20 mil tiap jam dala air yang tidak mengalir. Dengan arah manakah perahu harus ditujukan apabila Karen ingin sampai diseberang pada sebuah titik yang garishubungnya tegak lurus arah aliran. Berapa waktu diperlukan untuk menyeberang?
Penyelesaian :
1.      Menentukan  
                                                                Sin  =
                            20                     6                              = 17,46o
                           



2.      Menentukan  IwI ,ialah laju perahu searah dengan w

IwI = 20 cos
       = 20 cos 17,46o
           = 19,08 mil tiap jam

3.      Menentukan waktu yang diperlukan :

V = S / t

t  = s / V
    = 0,62 / 19.08
    = 0,0325 jam
    = 1,95 menit.




13.3  Vektor pada Bidang
Pendekatan Secara Aljabar

Vektor : merupakan keluarga anak panah yang panjangnya dan arahnya sama.
Gambar : Vektor u

Dikarenakan vektor u dalam bidang dua dimensi, maka komponen vektor u adalah          { u1, u2 >.

Operasi pada Vektor
a.       Penjumlahan dua buah vektor
b.       
Apabila terdapat dua buah vektor u dan v, maka :
u + v = { u1 + v1, u2 + v2 }
b.   Perkalian vektor dengan skalar
Apabila terdapat vektor u dan skalar c, maka :
uc = cu = { cu1, cu2 }

Teorema A
Untuk sebarang  vektor u, v, dan w dan sebarang skalar a dan b, berlaku sifat – sifat berikut :

  1. u + v = v + u
  2. (u + v) + w = u + (v + w)
  3. u + 0 = 0 + u = u
  4. u + (-u) = 0
  5. a(bu) = (ab)u = u(ab)
  6. a(u + v) = au + av
  7. (a + b)u = au + bu
  8. l u = u

Bukti kita gambarkan  pembuktian dengan membuktikan kaidah  ke-6 sebagai berikut.
a(u + v) = a({u1,u2} + {v1,v2})
              = a{u1 + v1,u2 + v2}
              = {a(u1 + v1), a(u2 + v2) }
             = {au1 + av1, au2 + av2}
             = {au1,au2} + {av1,av2}
             = a{u1,u2} + a{ v1,v2}
             = au +av

Contoh 1
 Andaikan  u = {4,-3}. Tentukan IuI dan I-2uI tentukan pula vektor v  yang searah dengan u tetapi dengan panjang 1.
Penyelesaian
IuI =  = 5 dan I-2I IuI = 2 • 5 = 10 untuk mencari v, kita bagi u dengan panjangnya IuI ; yakni
    v =  =  =  {4,-3} ={ ,}
kita telah membahas perkalian dengan skalar, yaitu perkalian vektor u dengan skalar c. Hasilnya  adalah vektor cu. Sekarang kita tentukan perkalian dua vektor u dan v. perkalian ini dinamakan hasil kali titik, yang dilambangkan dengan uv.  Kita tentukan  perkalian ini sebagai
 u • v = u1v1 + u2v2
Teorema B
Jika u, v, dan w vektor dan c skalar, maka berlaku sifat-sifat.
1.      uv = vu
2.      u • (v + w) = uv + uw
3.      c(uv) = (cu) • v = u• (cv)
4.      0 • u = 0
5.      uu
Untuk memahami arti hasil kali titik, kita berikan rumus lain. Jika u dan v  adalah vektor tidak nol, maka
u • v = IuIIvI cos θ
Teorema C
(kriteria ketegaklurusan). Dua vektor u dan v tegaklurus (ortogonal) jika dan hanya jika u v = 0

CONTOH 2
Tentukan b sehingga u = {8,6} dan v = {3,b} tegaklurus.
Penyelesaian
 u v = (8)(3) + (6)(b) = 24 + 6b = 0
jadi, b = -4

CONTOH 3
Tentukan sudut antara u = {8,6> dan v {5,12>}
 









Penyelesaian

Cos θ =  =  =  ≈ 0,862
Jadi
θ = cos-1 (0,862)  ≈ 0,532 (atau 30,5o)


VEKTOR BASIS
Andaikan i = ‹1,0› dan j = ‹0,1›,vektor ini tegak lurus dan panjangnya sama dengan satu.Vektor ini dinamakan vektor basis karena karena hanya memiliki komponen i dan j,

u =‹ u1,u2 ›= u1 ‹1,0 ›+u2 ‹0,1› =u1i+u2j

CONTOH  4
Apabila u anak panah dari P(2,-1) ke Q(-3,7),tulisu sebagai u1i + u2j
y
 
u=(u1,u2)
 
 


                                
 

x
 
                                                       
 

Jawab:
penggeseran anak panah dari P ke Q =Q-P= -3-2,7-(-1) =( -5,8)
                        Sehingga u dapat dinyatakan sebagai u = -5i + 8j


A=(4,3)
 
y
 
CONTOH 5 Tentukan besarnya sudut  ABC, dengan  A = (4,3), B = (1,-1), dan C = (6,-4)
 











Penyelesaian
u  = BA = (4 – 1)i + (3 + 1)j = 3i + 4j = {3,4}
v = BC =  (6 – 1)i + (-4 + 1)j = 51 – 3j = {5, -3}
IuI =  = 5
IvI =  =
uv = (3)(5) + (4)(-3) = 3
cos θ  =  ≈ 0,1029
      θ ≈ 1,468 (atau 84,09o).

CONTOH 6 
                      Sebuah gaya F = 80i +50j dengan satuan pon memindahkan benda dari (1,0) hingga (7,1) Jarak diukur dengan kaki. Berapakah besarnya kerja ?

 











Penyelesaian
Andaikan D vektor dari (1,0) ke (7,1) maka D = 6i+ j. Jadi
Kerja = F • D = (80)(6) = (50)(1) = 530 pon kaki.




13.4 FUNGSI BERNILAI VEKTOR
                                    f                                                                     F
                  t                          (ft)                                t                                    F(t)



Penyajian  perluasan dari gambar diatas dalam arti bahwa nilai fungsi dapat benilai vector. Suatu fungsi F bernilai vector dengan peubah riil t memadankan tiap bilangan riil t dengan vector F(t). Jadi
            F(t) =f(t)i +g(t)j
Dari perumusan diatas, maka F memiliki limit di c jika dan hanya jika f dan g memiliki limit di c dalam hal ini maka berlakulah :

TEOREMA A


Dari teorema diatas maka terlihat bahwa F kontinu di c jika dan hanya jika f dan g kontinu di c. Berangkat dari hal tersebut, maka dapat diketahui nilai turunan dari F(t), yaitu
(t)
I

Secara singkat, jika    F(t) =f(t)i +g(t)j  maka ,



Contoh :  Jika F(t)= (t2 + t)I +etj , tentukan
a. F(t),
b. F’’(t), dan
c. sudut  antara F(0) dan F’’(0)
Penyelesaian:
a.       F(t)  = (2t1)I + etj
b.      F’’(t)=2i etj
c.       Cos =                                          dimana :
         =                                                        
         =
Jadi  0,3218   (kira-kira 18,43o)

13.5 Kelengkungan dan Percepatan

Kelengkungan ini mengukur sebuah ketajaman dari sebuah kurva 

Keterangan :
s = jarak
catt : fungsi f(t) dan fungsi g(t) merupakan komponen vector dari posisi yaitu r(t) .

sedangkan laju titik yang bergerak dapat dirumuskan sebagai berikut :





Andaikan T’(t) , yang disebut vector singgung satuan di P(t) didefinisikan sebagai
Apabila P(t) bergerak sepanjang kurva maka T(t) akan mengubah arahnya .
Maka di dapatkan rumus kelengkungan dengan besaran  ĸ (kappa) yaitu :
Contoh 1
                 
                 pembuktian kelengkungan garis lurus adalah nol


                              y
 

                                                   
                                            Q
                                    P
                                          b  
                                   a              r = a + tb


                         o                                                                     x          
                          


Andaikan :
                         

        Persamaan vektor             r = r(t) = a + tb

untuk kecepatan               v(t) = r'(t) = b

untuk vektor tetap            T(t) =

                                   T'(t) = 0

Maka :
                k =  = 0

¨ Contoh dari Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan
          Tentukan kelengkungan elips
                          
            pada titik yang berhubungan dengan  dan , yaitu di (3 ,0) dan
            (0, 2).
Penyelesaian:
                        


            


Akibatnya,


Komponen Normal Dan Tangensial Percepatan


Andaikan P = P(t)   titik pada sebuah kurva
                N = N(t)  Vektro normal satuan di p

Maka dapat kita definisikan N

     dimana    
Sehingga


Oleh karena T =  cosi + sinj  maka

= (-sini + cosj)  

Jika ingin menyatakan vector percepatan a dalam T dan N, maka terlebih dahulu kita uraikan vector kecepatan.
Yang mana kecepatan v memenuhi:


Maka
              =


Sehingga          Dari persamaan ini kita juga mendapatkan

                   dan    
















Contoh Soal
Sebuah partikel bergerak  sedemikian hingga r(t)= t2i + 1/3t3j, t≥0. Nyatakan a(t) dalam  T dan N, dan hitunglah a(t) untuk t = 2.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar